출처: http://enginius.tistory.com/282

푸리에 변환과 라플라스 변환

1. 적분 변환의 정의

 푸리에 변환과 라플라스 변환은 모두 적분 변환(Integral Transform)의 일종이다. 적분 변환은 "적분을 이용하여 함수를 함수로 옮기는 사항"이다. 이것의 수학적 정의는 다음과 같다. 

 

위 식의 설명은 다음과 같다. 먼저, 함수 K(u,v)는 독립 변수가 u, v 두 개인 함수이다. 이는 이 적분 변환의 커널 함수(Kernel Function)이라도 한다. 따라서 적분 변환은 함수 f(u)에 커널 함수 K(u,v)를 곱하고 이 것을 어떤 구간 [u1, u2]에 대하여 정적분(Definite Integral) 한 것이다. 이렇게 변환을 시키고 나면 원래 u의 함수였던 f(u)가 v의 함수인 F(v)로 바뀌게 된다. 

 그렇다면, 왜 적분 변환을 하느 것일까? 함수 f(u)를 u의 영역에서 처리하기 어려울 때, 적분 변환을 통하여 v의 영역에서 처리한 후, 다시 u의 영역으로 돌리기 위해서이다. (이는 역변환이 존재할 경우에 한정되지만, 대부분 존재한다.)

2. 푸리에 변환의 정의

 푸리에 변환(Fourier Transform)의 정의는 다음과 같다. 

여기서 커널 함수는 e^(-jwt)로 시간 t와 주파수 w(=2*pi*f)의 이변수 함수로, 이 변환을 통해서 시간의 함수 f(t)는 Time Domain에서 Frequency Domain으로 옮겨진다. 이때 적분이 가능하려면, 적분 변환의 정적분 결과가 수렴해야 한다. 푸리에변환에서 커널 함수인 e^(-jwt)의 크기는 1이므로, 수렴조건은 다음과 같이 주어진다. 

 

 역 푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)은 다음과 같다. 

3. 라플라스 변환의 정의

 라플라스 변환(Laplace Transform)에는 두 가지가 있다. 하나는 양방향 라플라스 변환(Bilateral Laplace Transform)이고, 다른 하나는 단방향 라플라스 변환(Unilateral Laplace Transform)이다. 여기서는 단뱡향 라플라스 변환만을 다루겠다. 먼저 단뱡향 라플라스 변환의 정의는 다음과 같다. 

여기서 s는 복소수로 라플라스 변환은 Time Domain에 있는 f(t)를 Complex Number Domain에 있는 F(s)로 변환시킨다. 위와 마찬가지로 적분이 가능하기 위해선, 적분 변환의 정적분 결과가 수렴해야 한다. 단방향 라플라스 변환의 수렴조건은 다음을 만족시키는 M과 r이 존재하기만 하면 된다. 

 역 라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)은 다음과 같다. 

4. 푸리에 변환과 라플라스 변환

 푸리에 변환은 라플라스 변환에 포함된다고 볼 수 있다. 라플라스 변환을 위해 사용하는 커널 함수에서 복소수 s는 실수부와 허수부로 이뤄지는데 이 실수부가 0인 경우가 라플라스 변환인 것이다. 두 변환의 관계를 정리해 보면 다음과 같다. 

 즉 어떤 함수 f(t)의 라플라스 변환은 f(t)에 감쇠 함수 e^(row*t)를 곱하여 푸리에 변환한 것과 같다.